Question

7．求d的最大、最小值．
d=$\frac{|2cosθ+\sqrt{3}sinθ-8|}{\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 由輔助角公式可得t=2cosθ+$\sqrt{3}$sinθ=$\sqrt{7}$cos（θ-φ），其中tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得t∈[-$\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$]，由絕對值的意義可得．

解答 解：設t=2cosθ+$\sqrt{3}$sinθ
=$\sqrt{7}$（$\frac{2}{\sqrt{7}}$cosθ+$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$sinθ）
=$\sqrt{7}$cos（θ-φ），其中tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴t∈[-$\sqrt{7}$，$\sqrt{7}$]，
∴當t=$\sqrt{7}$時，d取最小值$\frac{|\sqrt{7}-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}-\sqrt{14}}{2}$；
當t=-$\sqrt{7}$時，d取最大值$\frac{|-\sqrt{7}-8|}{\sqrt{2}}$=$\frac{8\sqrt{2}+\sqrt{14}}{2}$．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及輔助角公式和絕對值，屬基礎題．