Question

已知數(shù)列和滿足：,其中為實(shí)數(shù)，為正整數(shù).

（Ⅰ）對任意實(shí)數(shù)，證明數(shù)列不是等比數(shù)列；

（Ⅱ）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

（Ⅲ）設(shè),為數(shù)列的前項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)，使得對任意正整數(shù)，都有

?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：見解析；｛a_n｝不是等比數(shù)列.

(Ⅱ)解：因?yàn)閎_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+21］=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+14)

=(-1)ⁿ·（a_n-3n+21）=-b_n

又b₁x-(λ+18),所以當(dāng)λ＝－18，b_n=0(n∈N⁺),此時｛b_n｝不是等比數(shù)列：

當(dāng)λ≠－18時，b₁=(λ+18) ≠0,由上可知b_n≠0，∴(n∈N⁺).

故當(dāng)λ≠-18時，數(shù)列｛b_n｝是以－（λ＋18）為首項(xiàng)，－為公比的等比數(shù)列.

(Ⅲ)當(dāng)a<b3a時，由－b-18=-3a-18，不存在實(shí)數(shù)滿足題目要求；

當(dāng)b>3a存在實(shí)數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n,都有a<S_n<b,且λ的取值范圍是

（－b-18,-3a-18）.

【解析】(I) 采用特值法證明.假設(shè)存在一個實(shí)數(shù)λ，使｛a_n｝是等比數(shù)列，則有a²₂=a₁a₃,即矛盾.

所以｛a_n｝不是等比數(shù)列.

（II）因?yàn)閎_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+21］=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+14)

=(-1)ⁿ·（a_n-3n+21）=-b_n

然后再判斷b₁是否為零.

（III）由（II）知知b_n= -（λ+18）·（－）^n-1，于是可得

S_n=-,要使a<S_n<b對任意正整數(shù)n成立，

即轉(zhuǎn)化為a<-(λ+18)·［1－（－）ⁿ］〈b(n∈N⁺)恒成立問題.

（Ⅰ）證明：假設(shè)存在一個實(shí)數(shù)λ，使｛a_n｝是等比數(shù)列，則有a²₂=a₁a₃,即

矛盾.

所以｛a_n｝不是等比數(shù)列.

(Ⅱ)解：因?yàn)閎_n+1=(-1)ⁿ⁺¹［a_n+1-3(n-1)+21］=(-1)ⁿ⁺¹(a_n-2n+14)

=(-1)ⁿ·（a_n-3n+21）=-b_n

又b₁x-(λ+18),所以當(dāng)λ＝－18，b_n=0(n∈N⁺),此時｛b_n｝不是等比數(shù)列：

當(dāng)λ≠－18時，b₁=(λ+18) ≠0,由上可知b_n≠0，∴(n∈N⁺).

故當(dāng)λ≠-18時，數(shù)列｛b_n｝是以－（λ＋18）為首項(xiàng)，－為公比的等比數(shù)列.

(Ⅲ)由（Ⅱ）知，當(dāng)λ=-18,b_n=0,S_n=0,不滿足題目要求.

∴λ≠-18，故知b_n= -（λ+18）·（－）^n-1，于是可得

S_n=-

要使a<S_n<b對任意正整數(shù)n成立，

即a<-(λ+18)·［1－（－）ⁿ］〈b(n∈N⁺)              

   ①

當(dāng)n為正奇數(shù)時，1<f(n)

∴f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= ,

于是，由①式得a<-(λ+18),<

當(dāng)a<b3a時，由－b-18=-3a-18，不存在實(shí)數(shù)滿足題目要求；

當(dāng)b>3a存在實(shí)數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n,都有a<S_n<b,且λ的取值范圍是（－b-18,-3a-18）.