Question

5．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足sinC=2（1-cosC）．
（1）求cosC；
（2）若c=2，且2sinAcosC=sinB，求b的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）△ABC中，利用二倍角的余弦公式公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosC的值．
（2）由條件利用正弦定理可得cosC=$\frac{2a}$=$\frac{3}{5}$，即5b=6a，再利用余弦定理求得b的值．

解答 解：（1）△ABC中，∵sinC=2（1-cosC），∴sinC=2-2cosC，
即 2sin$\frac{C}{2}$•cos$\frac{C}{2}$=2-2（1-2${sin}^{2}\frac{C}{2}$）=4${sin}^{2}\frac{C}{2}$，又sin$\frac{C}{2}$≠0，
∴cos$\frac{C}{2}$=2sin$\frac{C}{2}$，∴tan$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$，tanC=$\frac{2tan\frac{C}{2}}{1{-tan}^{2}\frac{C}{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$，
故C為銳角．
再根據(jù)$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{4}{3}$，sin²C+cos²C=1，求得cosC=$\frac{3}{5}$．
（2）若c=2，且2sinAcosC=sinB，由正弦定理可得2acosC=b，
故 cosC=$\frac{2a}$=$\frac{3}{5}$，∴5b=6a．
再由余弦定理可得 c²=4=a²+b²-2ab•cosC=${（\frac{5b}{6}）}^{2}$+b²-2•$\frac{5b}{6}$•b•$\frac{3}{5}$，
求得b=$\frac{12}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二倍角的余弦公式公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．