Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+x+1．
（1）若a=-1，求f（x）在區(qū)間[-1，3]上的值域．
（2）如果當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=-1時(shí)，得到f（x）=$-（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}$，顯然x=$-\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）取到最大值$\frac{5}{4}$，再比較f（-1），f（3）便可得出該函數(shù)的值域；
（2）f（0）=1＞0，要使x∈（0，2]時(shí)，f（x）＞0恒成立，首先滿足f（2）＞0，再滿足$-\frac{1}{2a}＜0$，或$-\frac{1}{2a}＞2$，這樣解不等式即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）a=-1時(shí)，f（x）=-x²+x+1=$-（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}≤\frac{5}{4}$；
又f（-1）=-1，f（3）=-5；
∴$-5≤f（x）≤\frac{5}{4}$；
∴該函數(shù)的值域?yàn)?[-5，\frac{5}{4}]$；
（2）①若a=0，f（x）=x+1；
∵x∈（0，2]；
∴f（x）＞0恒成立；
②若a≠0，f（0）=1＞0，則a應(yīng)滿足：
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2a}＜0}\\{f（2）=4a+3＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2a}＞2}\\{f（2）=4a+3＞0}\end{array}\right.$；
解得a＞0，或$-\frac{3}{4}$＜a＜0；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（$-\frac{3}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查通過(guò)配方求二次函數(shù)的值域，二次函數(shù)的對(duì)稱軸，要熟悉二次函數(shù)的圖象，不要漏了a=0的情況．