Question

設a為實數，設函數的最大值為g(a)。

（Ⅰ）設t＝，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數m(t)

（Ⅱ）求g(a)

（Ⅲ）試求滿足的所有實數a      

Answer 1

（Ⅰ）

要使有意義，必須且，即,

∴                   ①

的取值范圍是由①得

∴

（Ⅱ）由題意知g(a)即為函數的最大值。

注意到直線是拋物線的對稱軸，分以下幾種情況討論。

(1)當時，函數 ,的圖象是開口向上的拋物線的一段，由知在上單調遞增，∴

(2)當時，, ,∴.

(3)當時,函數, 的圖象是開口向下的拋物線的一段，

若，即則

若，即則

若，即則

       綜上有 

（Ⅲ）解法一：

情形1：當時，此時，

由解得，與矛盾。

情形2：當時，此時，

解得，與矛盾。

情形3：當時，此時

所以

情形4：當時，，此時，

          ，解得與矛盾。

情形5：當時，，此時

由解得，與矛盾。

情形6：當時，，此時,

由解得，由得.

綜上知，滿足的所有實數為或