Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)均滿(mǎn)足不等式組

x-3y+1≤0 x+y-3≤0 x-1≥0

，設(shè)

OA

與

OB

的夾角為θ，則tanθ的最大值為（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  4

  7

• C、

  3

  4

• D、

  9

  4

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求出A，B的位置，利用向量的數(shù)量積求出夾角的余弦，即可得到結(jié)論．

解答： 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，要使tanθ最大，
則由

x=1 x+y-3=0

，得

x=1 y=2

，即A（1，2），
由

x-3y+1=0 x+y-3=0

，得

x=2 y=1

，即B（2，1），
∴此時(shí)夾角θ最大，
則

OA

=(1，2)，

OB

=(2，1)，
則cosθ=

OA • OB

| OA |•| OB |

=

2+2

5 • 5

=

4

5

，
∴sinθ=

3

5

，
此時(shí)tanθ=

sinθ

cosθ

=

3

4

，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，以及向量的數(shù)量積運(yùn)算，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．