Question

隨機(jī)變量X的分布列如下表如示，若數(shù)列{p_n}是以p₁為首項(xiàng)，以q為公比的等比數(shù)列，則稱隨機(jī)變量X服從等比分布，記為Q（p₁，q）．現(xiàn)隨機(jī)變量X～Q（

1

15

，2）．

X	1	2	…	n
P	p1	p2	…	pn

（Ⅰ）求n的值并求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX；
（Ⅱ）甲乙兩人舉行乒乓球比賽，已知甲贏得每一局比賽的概率都等于P（X≤2），比賽采用三局兩勝制（即在三局比賽中，只要有一方贏得兩局比賽，就取得勝利，比賽也就隨之結(jié)束了），求甲在比賽中贏的局?jǐn)?shù)比輸?shù)木謹(jǐn)?shù)多的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：互斥事件的概率加法公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）依題意得，數(shù)列{p_n}是以

1

15

為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，由此解得n=4，由此能求出EX．
（Ⅱ）設(shè)“甲在第i（i=1，2，3）局取勝”為事件A_i，依題意，P(Ai)=P(X≤2)=

1

15

+

2

15

=

1

5

…（9分）設(shè)“甲在比賽中贏的局?jǐn)?shù)比輸?shù)木謹(jǐn)?shù)多”為事件A，則事件A等價(jià)于A1A2+

.

A1

A2A3+A1

.

A2

A3，由此能求出甲在比賽中贏的局?jǐn)?shù)比輸?shù)木謹(jǐn)?shù)多的概率．

解答： 解：（Ⅰ）依題意得，
數(shù)列{p_n}是以

1

15

為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，…（1分）
所以Sn=p1+p2+…+pn=

1 15 (1-2n)

1-2

=1 …（3分）
解得n=4．…（5分）
EX=p1+2p2+3p3+4p4=1×

1

15

+2×

2

15

+3×

22

15

+4×

23

15

=

1

15

(1×20+2×21+3×22+4×23)…（6分）
=

49

15

．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知隨機(jī)變量X的分布列為：

X	1	2	3	4
P	1 15	2 15	4 15	8 15

設(shè)“甲在第i（i=1，2，3）局取勝”為事件A_i，
依題意，P(Ai)=P(X≤2)=

1

15

+

2

15

=

1

5

…（9分）
設(shè)“甲在比賽中贏的局?jǐn)?shù)比輸?shù)木謹(jǐn)?shù)多”為事件A，
則事件A等價(jià)于A1A2+

.

A1

A2A3+A1

.

A2

A3，…（11分）
則P(A)=P(A1A2)+P(

.

A1

A2A3)+P(A1

.

A2

A3)=

1

5

×

1

5

+

4

5

×

1

5

×

1

5

+

1

5

×

4

5

×

1

5

=

13

125

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．