Question

3．已知函數(shù)f（x），當x，y∈R時，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．當x＞0時，f（x）＞0
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）若f（1）=$\frac{1}{2}$，試求f（x）在區(qū)間[-2，6]上的最值．

Answer 1

分析 （1）在給出的等式中取x=y=0，求得f（0）=0，再取y=-x可證明f（x）是奇函數(shù)；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，借助于已知等式證明函數(shù)f（x）為增函數(shù)，從而求出函數(shù)在給定區(qū)間上的最值．

解答 解：（1）令x=0，y=0，則f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．令y=-x，則f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（x）=f（-x），即f（x）為奇函數(shù)；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
∵當x＞0時，f（x）＞0，且x₁＜x₂，
∴f（x₂-x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）為增函數(shù)，
∴當x=-2時，函數(shù)有最小值，f（x）_min=f（-2）=-f（2）=-2f（1）=-1．
當x=6時，函數(shù)有最大值，f（x）_max=f（6）=6f（1）=3；

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查函數(shù)的最值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．