Question

17．在△ABC中，已知|BC|=4，且$\frac{{|{AB}|}}{{|{AC}|}}=λ$，求點(diǎn)A的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．

Answer 1

分析 以直線BC為x軸、線段BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y）．由$\frac{{|{AB}|}}{{|{AC}|}}=λ$得，$\sqrt{{{（{x+2}）}^2}+{y^2}}=λ\sqrt{{{（{x-2}）}^2}+{y^2}}$，化簡可得結(jié)論．

解答 解：如圖，以直線BC為x軸，線段BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，
則有B（-2，0），C（2，0），設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y）．
由$\frac{{|{AB}|}}{{|{AC}|}}=λ$得，$\sqrt{{{（{x+2}）}^2}+{y^2}}=λ\sqrt{{{（{x-2}）}^2}+{y^2}}$，
整理得（λ²-1）x²+（λ²-1）y²-4（λ²+1）x+4（λ²-1）=0，
當(dāng)λ²=1時，λ=1，方程是x=0，軌跡是y軸（除去原點(diǎn)）；
當(dāng)λ²≠1時，配方得${（{x-\frac{{2（{{λ^2}+1}）}}{{{λ^2}-1}}}）^2}+{y^2}=\frac{{16{λ^2}}}{{{{（{{λ^2}-1}）}^2}}}$，
所以點(diǎn)A的軌跡是以$（{\frac{{2（{{λ^2}+1}）}}{{{λ^2}-1}}，0}）$為圓心，$\frac{4λ}{{|{{λ^2}-1}|}}$為半徑的圓（除去圓與BC的交點(diǎn)）．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程，考查學(xué)生的計算能力，正確建立平面直角坐標(biāo)系是關(guān)鍵．