Question

4．設(shè)x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6≤0}\\{x-y+2≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為12，則$\frac{3}{a}$$+\frac{2}$的最小值為（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 12
• D． 24

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用向量數(shù)量積的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用線性規(guī)劃求出最優(yōu)解，建立a，b的關(guān)系，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
平移直線y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$，由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，
y=-$\frac{a}$x+$\frac{z}$時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)z最大為12，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6=0}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=6}\end{array}\right.$，即A（4，6），
此時(shí)4a+6b=12，
即$\frac{a}{3}$+$\frac{2}$=1，
∴$\frac{3}{a}$$+\frac{2}$=（$\frac{3}{a}$$+\frac{2}$）（$\frac{a}{3}$+$\frac{2}$）=1+1+$\frac{3b}{2a}$+$\frac{2a}{3b}$≥2+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3b}{2a}$=$\frac{2a}{3b}$，即9b²=4a²，時(shí)取等號(hào)，
則$\frac{3}{a}$$+\frac{2}$的最小值為4，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及利用基本不等式進(jìn)行求最值問(wèn)題，利用線性規(guī)劃問(wèn)題，作出圖象，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．