Question

已知實數(shù)x，y滿足方程x²＋y²－4x＋1＝0.

       (1)求的最大值和最小值；

       (2)求y－x的最大值和最小值；

       (3)求x²＋y²的最大值和最小值．

Answer 1

解　原方程可化為(x－2)²＋y²＝3，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓．

(1)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，

所以設＝k，即y＝kx.

當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時＝，解得k＝±(如圖1)．

所以的最大值為，最小值為－.

(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當直線y＝x＋b與圓相切時，

縱截距b取得最大值或最小值，此時＝，解得b＝－2±(如圖2)．

所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－.

(3)x²＋y²表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，

在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖3)．

又圓心到原點的距離為

所以x²＋y²的最大值是(2＋)²＝7＋4，x²＋y²的最小值是(2－)²＝7－4.