Question

解答題 已知三棱錐P－ABC中，PA＝PC，APC＝ACB＝900，BAC＝300， 平面PAC平面PBC (1) 求證：平面PAB平面PB (2) 求二面角P－AB－C的大小 (3) 若PA＝2，求三棱錐P－ABC的體積．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解法1：由題意，APC＝ACB＝900得APPC……………………(1分) 又平面PAC平面PBC，BCAC，BC平面ABC，面PAC面PBC＝AC，得BC平面PAC………………(2分) 而AP面PAC，則APBC…………………………(3分) 且BC，PC是平面PC內(nèi)兩相交直線，得AP面PBC 而AP面PAC得平面PAB平平面PBC．…………………………(4分) 　　解法2：取AC中點(diǎn)O．AB中點(diǎn)D，則PO⊥面ACB，OD∥BC，OD⊥AC，故以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OC，OD，OP分別為X，Y，Z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)BC＝2，則AC＝2，OP＝，A(－，0，0)，C(，0，0)，P(0，0，)，D(0，1，0)，B(，2，0)，＝(，0，)，＝(－，0，)，＝(0，2，0)，．＝(，0，)．(－，0，)＝－3＋0＋3＝0……………………(2分) ＝(，0，)(0，2，0)＝0 ∴AP⊥CP，AP⊥CB且CP和CB是平面PBC內(nèi)兩相交直線，則AP⊥面PBC，而AP面PAC，得平面PAB平平面PBC．……………………(4分)
(2)	解法1：取AC中點(diǎn)O，連PO．由AP＝PC，APC＝900，得三角形APC為等腰直角三角形，得POAC，又平面PAC平面PBC 所以PO面ABC，作OGAB于G，連PG．由三垂線定理得，ABPG，則PGO是二面角P－AB－C的平面角……………………(6分)． 在直角三角形AOG中，A＝300，則OG＝AO/2＝PG/2，tanPGO＝PG/OG＝2，PGO＝argtan2所求的二面角的大小為argtan2．……………………(8分) 　　解法2：設(shè)＝(x，y，z)是平面APB的法向量，則＝0，＝0，x＋z＝0；2x＋2y＝0，令x＝1，y＝－，z＝－1 ∴＝(1，，－1)，＝(0，0，)是平面ACB法向量，＝，＝，COS＜，＞＝＝－．則平面角P－AB－C的平面角的大小為：argcos．……………………(8分)
(3)	解法1：若PA＝2，則AC＝2，BC＝，PO＝， VP－ABC＝ABBCPO＝2＝………(12分)