Question

【題目】定義在上的函數(shù)滿足，．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）如果、、滿足，那么稱比更靠近．當(dāng)且時(shí)，試比較和哪個(gè)更靠近，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

（3）比更靠近．

【解析】

試題分析：（1）兩邊求導(dǎo)，可建立關(guān)于，的方程組，求得其值，即可得到解析式；（2）求導(dǎo)，對的取值進(jìn)行分類討論，即可得到結(jié)論；（3）設(shè)，，從而問題等價(jià)于，通過對的取值范圍進(jìn)行分類討論，利用求導(dǎo)判斷單調(diào)性求極值，即可得到結(jié)論．

試題解析：（1），∴，即，又，∴，∴；（2）∵，

∴，

∴，①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，由得，∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）設(shè)，，∵，∴在上為減函數(shù)，又∵，

∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∵，，

∴在上為增函數(shù)，又∵，∴時(shí)，，∴在上為增函數(shù)，∴，①當(dāng)時(shí)，，

設(shè)，則，∴在上為減函數(shù)，

∴，∵，∴，∴，∴比更靠近，

②當(dāng)時(shí)，，

設(shè)，則，，∴在時(shí)為減函數(shù)，

∴，∴在時(shí)為減函數(shù)，∴，

∴，∴比更靠近，綜上：在，時(shí)，比更靠近．