Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F₁，F₂分別是橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，連接BF₂并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線(xiàn)交橢圓于另一點(diǎn)C，連接F₁C.

(1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，且BF₂＝，求橢圓的方程；

(2)若F₁C⊥AB，求橢圓離心率e的值．

Answer 1

解　設(shè)橢圓的焦距為2c，則F₁(－c,0)，F₂(c,0)．

(1)因?yàn)?i>B(0，b)，所以BF₂＝＝a.

又BF₂＝，故a＝.

因?yàn)辄c(diǎn)解得b²＝1.

故所求橢圓的方程為＋y²＝1.

(2)因?yàn)?i>B(0，b)，F₂(c,0)在直線(xiàn)AB上，

所以直線(xiàn)AB的方程為＋＝1.

解方程組

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

又AC垂直于x軸，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為

因?yàn)橹本�(xiàn)F₁C的斜率為，直線(xiàn)AB的斜率為－，且F₁C⊥AB，

又b²＝a²－c²，整理得a²＝5c².故e²＝.

因此e＝.