Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足，且對任意m，n∈N^*，有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{c_n}滿足，試求{c_n}的通項公式并判斷：是否存在正整數(shù)M，使得對任意n∈N^*，c_n≤c_M恒成立．
（3）若數(shù)列{d_n}滿足，求證：當(dāng)n≥2時，．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，對任意m，n∈N^*，有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n，取m=1，可得數(shù)列{a_n}，{b_n}分別為等比，等差數(shù)列，即可求出它們的通項公式；
（2）根據(jù)b_n求出c_n的通項公式，然后可判定數(shù)列{c_n}為遞減數(shù)列，c_n的最大值為c₁，故存在M=1，使得對任意n∈N^*，c_n≤c₁恒成立；
（3）先求出d_n的通項公式，然后求出，而當(dāng)n≥2時，，從而證得結(jié)論．
解答：解：（1）由已知，對任意m，n∈N^*，
有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n．
取m=1，得．
所以數(shù)列{a_n}，{b_n}分別為等比，等差數(shù)列．
∴     …（4分）
（2）由，
得．
∵．
∴數(shù)列{c_n}為遞減數(shù)列，c_n的最大值為c₁．
故存在M=1，使得對任意n∈N^*，c_n≤c₁恒成立…（8分）
（3）∵-
∴
=
而當(dāng)n≥2時，
∴…（13分）
點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列的單調(diào)性和取值范圍等問題，屬于中檔題．