Question

1．求函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{x+1}-2}{x+4}$，x∈[0，3]的值域．

Answer 1

分析 先利用換元法設(shè)t=$\sqrt{x+1}$將函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=$\frac{t-2}{{t}^{2}-1+4}$=$\frac{t-2}{{t}^{2}+3}$=$\frac{t-2}{（t-2）^{2}+4（t-2）+11}$，然后再次化簡轉(zhuǎn)化為基本x+$\frac{a}{x}$型函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合分式函數(shù)的性質(zhì)進行求解．

解答 解：t=$\sqrt{x+1}$，∵x∈[0，3]，∴t∈[1，2]，
則x=t²-1，
則函數(shù)等價為y=$\frac{t-2}{{t}^{2}-1+4}$=$\frac{t-2}{{t}^{2}+3}$=$\frac{t-2}{（t-2）^{2}+4（t-2）+11}$，
令m=t-2，則m∈[-1，0]，
則函數(shù)等價為y=$\frac{m}{{m}^{2}+4m+11}$
當(dāng)t=2時，m=0，此時y=0，
當(dāng)m∈[-1，0），
則函數(shù)等價為y=$\frac{1}{m+\frac{11}{m}+4}$，
設(shè)h（m）=m+$\frac{11}{m}$，則h′（m）=1-$\frac{11}{{m}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}-11}{{m}^{2}}$，
當(dāng)m∈[-1，0）時，h′（m）＜0，即函數(shù)h（m）為減函數(shù)，
∴h（m）≤h（-1）=-1-11=-12，
則h（m）+4≤-12+4=-8，
則y=$\frac{1}{m+\frac{11}{m}+4}$∈[-$\frac{1}{8}$，0），
當(dāng)m=0時，y=0，
綜上y∈[-$\frac{1}{8}$，0]，
即函數(shù)的值域為[-$\frac{1}{8}$，0]．

點評 本題主要考查函數(shù)值域的求解，結(jié)合根式和分式的關(guān)系，多次使用換元法進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．