Question

[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[2.9]=2，[-4.1]=-5，已知f（x）=x-[x]，（x∈R），g（x）=log₄（x-1），則函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的零點個數(shù)為（　�。�

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x+2）=f（x），得到函數(shù)的周期是2，作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：當0＜x＜1時，[x]=0，則f（x）=x-[x]=x，
當1≤x＜2時，[x]=1，則f（x）=x-[x]=x-1，
當2≤x＜3時，[x]=2，則f（x）=x-[x]=x-2，
當3≤x＜4時，[x]=3，則f（x）=x-[x]=x-3，
當4≤x＜5時，[x]=4，則f（x）=x-[x]=x-4，
當5≤x＜6時，[x]=5，則f（x）=x-[x]=x-5，此時f（x）∈[0，1），而g（x）log₄（x-1）≥1，
即當n≤x＜n+1，n≥6時，[x]=n，則f（x）=x-[x]=x-n∈[0，1），而g（x）log₄（x-1）≥1，
由h（x）=f（x）-g（x）=0得f（x）=g（x），
分別作出函數(shù)f（x）和g（x）的圖象如圖：
則兩個函數(shù)圖象有2個交點，
故函數(shù)零點的個數(shù)為2個，
故選：C

點評：本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，根據(jù)[x]的定義，求出函數(shù)f（x）的表達式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．