Question

如圖①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中點(diǎn)．如圖②，將△ABE沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，連結(jié)BC、BD，F是CD的中點(diǎn)，P是棱BC的中點(diǎn)．求證：

圖①圖②

(1)AE⊥BD；

(2)平面PEF⊥平面AECD.

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】(1)取AE中點(diǎn)M，連結(jié)BM、DM、DE.

∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中點(diǎn)，∴△ABE與△ADE都是等邊三角形，∴BM⊥AE，DM⊥AE.∵BM∩DM＝M，BM，DM平面BDM，∴AE⊥平面BDM.∵BD平面BDM，∴AE⊥BD.

(2)連結(jié)CM交EF于點(diǎn)N，連結(jié)PN.

∵ME∥FC，且ME＝FC，∴四邊形MECF是平行四邊形，∴N是線段CM的中點(diǎn)．∵P是線段BC的中點(diǎn)，∴PN∥BM.∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD.∵PN平面PEF，∴平面PEF⊥平面AECD.