Question

如圖①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中點．如圖②，將△ABE沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，連結BC、BD，F是CD的中點，P是棱BC的中點．求證：

圖①圖②

(1)AE⊥BD；

(2)平面PEF⊥平面AECD.

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

【解析】(1)取AE中點M，連結BM、DM、DE.

∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中點，∴△ABE與△ADE都是等邊三角形，∴BM⊥AE，DM⊥AE.∵BM∩DM＝M，BM，DM平面BDM，∴AE⊥平面BDM.∵BD平面BDM，∴AE⊥BD.

(2)連結CM交EF于點N，連結PN.

∵ME∥FC，且ME＝FC，∴四邊形MECF是平行四邊形，∴N是線段CM的中點．∵P是線段BC的中點，∴PN∥BM.∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD.∵PN平面PEF，∴平面PEF⊥平面AECD.