Question

已知函數(shù)

   （1）若的極值點，求實數(shù)a的值；

   （2）若上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

   （3）當有實根，求實數(shù)b的最大值。

【解析】本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。主要是極值的概念和根據(jù)單調區(qū)間，求解參數(shù)的取值范圍，以及利用函數(shù)與方程的思想求解參數(shù)b的最值。

 

Answer 1

【答案】

 

解：（1）……1分

因為為的極值點，所以

即，解得，又當時，，從而為的極值點成立。…………2分

（2）因為在區(qū)間上為增函數(shù)，所以在區(qū)間上恒成立。…………3分

①當時，在區(qū)間上恒成立，在區(qū)間上為增函數(shù)，符合題意�！�………4分

②當時，由函數(shù)的定義域可知，必有對成立，

故只能…………5分

故對恒成立

令，其對稱軸為

從而要使對恒成立，只要即可…………6分

   解得：

，故

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為…………7分

（3）若時，方程可化為，．

問題轉化為在上有解，

即求函數(shù)的值域．………………………………8分

以下給出兩種求函數(shù)值域的方法：

解法一：，令

則…………9分

所以當時，，從而在上為增函數(shù)

當時，，從而上為減函數(shù)

因此…………10分

而，故…………11分

因此當時，取得最大值………12分

解法二：因為，所以

設，則………9分

當時，，所以在上單調遞增

當時，，所以在上單調遞減

因為，故必有，又…10分

因此必存在實數(shù)使得

當時，，所以在上單調遞減；

當時，，所以在上單調遞增

當時，，所以在上單調遞減………11分

又因為

當時，，則，又

因此當時，取得最大值