Question

定義域?yàn)?sub>的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若對(duì)，均有，則稱函數(shù)為上的夢(mèng)想函數(shù)．

（Ⅰ）已知函數(shù)，試判斷是否為其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)，并說(shuō)明理由；

（Ⅱ）已知函數(shù)（，）為其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)，求的取值范圍；

（Ⅲ）已知函數(shù)（，）為其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)，求的最大整數(shù)值．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)不是其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)．

理由如下：

定義域，，

存在，使，故函數(shù)不是其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)．

（Ⅱ），，若函數(shù)在上為夢(mèng)想函數(shù)，

則在上恒成立，  即在上恒成立，

因?yàn)?sub>在內(nèi)的值域?yàn)?sub>，    所以．

（Ⅲ），由題意在恒成立，

故，即在上恒成立．

①當(dāng)時(shí)，顯然成立；

②當(dāng)時(shí)，由可得對(duì)任意恒成立.

令，則，

令，

則．

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?sub>，所以在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?sub>，所以在單調(diào)遞增．

∵，， ∴當(dāng)時(shí)，的值均為負(fù)數(shù).

∵，，   ∴當(dāng)時(shí)，

有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且.   

∴當(dāng)時(shí)，，所以，可得在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，所以，可得在單調(diào)遞增．

則．

因?yàn)?sub>，所以，

．

∵在單調(diào)遞增，，，

∴，    所以，即

又因?yàn)?sub>，所以的最大整數(shù)值為．