Question

16．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x），若函數(shù)y=$\frac{f′（x）}{x}$的圖象如圖所示，給出下列命題：
①f′（1）=f′（-1）=0；
②函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）上單調(diào)遞增；
③當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值；
④方程xf′（x）=0與f（x）=0均有三個(gè)實(shí)數(shù)根．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)以及導(dǎo)函數(shù)值，判斷函數(shù)的單調(diào)性與極值點(diǎn)，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)推出結(jié)果即可．

解答 解：由題意可知：①f′（1）=f′（-1）=0；正確；
②函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）上f′（x）＞0，所以函數(shù)是單調(diào)遞增；正確；
③x∈（0，1）時(shí)f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)，x∈（1，+∞）上f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)，
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值；正確；
④方程f（x）=0可能沒有實(shí)數(shù)根．如圖：
所以方程xf′（x）=0與f（x）=0均有三個(gè)實(shí)數(shù)根．不正確；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及圖象的應(yīng)用，是中檔題．