Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，，，且，，分別為棱，，的中點.

（1）證明：直線與共面；并求其所成角的余弦值；

（2）在棱上是否存在點，使得平面，若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，；（2）存在，，理由見解析.

【解析】

（1）證明直線與共面只需證明出與平行即可，然后再通過余弦定理求出兩直線所成角的余弦值；

（2）建立直角坐標(biāo)系，求出，利用線面垂直條件證明即可.

（1）證明：，分別是，的中點，

，

由棱柱性質(zhì)易得，

，

，，，四點共面，

即直線與共面得證，

取中點為，連結(jié)，易知四邊形為平行四邊形，

故，則為直線與所成角，

，，

，

在中，，

，

，

即直線與所成角的余弦值為；

（2）由題意，直線，，兩兩相互垂直，

如圖所示建立直角坐標(biāo)系，為坐標(biāo)原點，

有，，，，

，，

設(shè)，，

則，，

，

要使平面，則，

即，

解得，即，

故在棱上存在點，

使得平面，且.