Question

設α=

∫

π 0

（sinx+cosx）dx，則二項式（α

x

-

1

x

）⁶展開式中不含x²項的系數(shù)和是（　　）

A．-192

B．193

C．-6

D．7

Answer 1

分析：由α=

∫

π 0

（sinx+cosx）dx可求得α=2．又由二項式定理知道二項式(α

x

-

1

x

)6展開式中所有項的系數(shù)和是（α-1）⁶，且可求含x²項的系數(shù)，繼而求出二項式（α

x

-

1

x

）⁶展開式中不含x²項的系數(shù)和．

解答：解：由于α=

∫

π 0

（sinx+cosx）dx=(-cosx+sinx)

|

π 0

=-cosπ-(-cos0)=2，則α=2，
又由于二項式（2

x

-

1

x

）⁶展開式的通項是Tk+1=

C

k 6

•(2

x

)6-k•(-

1

x

)k=(-1)k26-k•

C

k 6

•(

x

)6-2k，
則含x²的項是第二項，即是T1+1=(-1)1•26-1•

C

1 6

•(

x

)6-2×1=-192•x²，
而二項式（2

x

-

1

x

）⁶展開式所有項的系數(shù)和是(2×1-

1

1

)6=1，
所以二項式（α

x

-

1

x

）⁶展開式中不含x²項的系數(shù)和是1-（-192）=193．
故答案選B．

點評：本題考查定積分與二項式系數(shù)的性質，屬于基礎題．注意sinx=（-cosx）'，cosx=（sinx）'，(a+b)n=

C

0 n

an+

C

1 n

an-1b+…+

C

n n

bn．