Question

如圖1，在邊長為3的等邊三角形ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，AD=AE，F(xiàn)是BC的中點，AF與DE交于點G，將△ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐A-BCF，其中BC=

3 2

2

．
（Ⅰ）證明：DE∥平面BCF；
（Ⅱ）證明：CF⊥平面ABF；
（Ⅲ）當(dāng)AD=

2

3

AB時，求三棱錐F-DEG的體積V_D-EFG．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）先證明DE∥BC，然后，根據(jù)線面平行的判定定理，容易得到結(jié)論；
（Ⅱ）可以通過證明AF⊥CF和CF⊥BF，從而證明CF⊥平面ABF；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅰ）容易得到：GE⊥平面DFG，然后借助于體積公式進行求解．

解答： 解：（Ⅰ）在等邊三角形ABC中，AD=AE，
∴

AD

DB

=

AE

EC

，在折疊后的三棱錐A-BCF中
也成立，∴DE∥BC，
∵DE?平面BCF，
BC?平面BCF，
∴DE∥平面BCF； 
（Ⅱ）在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點，
∴AF⊥CF   ①，
∴BF=CF=

3

2

．
∵在三棱錐A-BCF中，BC=

3 2

2

，
∴BC²=BF²+CF²，
∴CF⊥BF    ②
∵BF∩AF=F，
∴CF⊥平面ABF；  
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知GE∥CF，結(jié)合（Ⅱ）可得GE⊥平面DFG．
V_D-EFG=V_E-DFG=

1

3

×

1

2

×DG×FG×GE=

1

3

×

1

2

×1×1×

3

2

=

3

12

．

點評：本題重點考查了空間幾何體的體積公式、線面平行的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．