Question

【題目】如圖，已知四棱錐中，，平面，，F，G分別是的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）取的中點(diǎn)O，連接，根據(jù)條件可證平面平面，從而可證明.
（Ⅱ）平面，平面，由得，故以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角.

（Ⅰ）證明：如圖，取的中點(diǎn)O，連接.

點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，

為梯形的中位線，.

平面，平面，

平面.

同理，，

平面，平面，

平面.

又，平面平面.

平面，平面.

（Ⅱ）平面，平面.

，

故以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

在中，.

在中，.

在中，，作，垂足為點(diǎn)H.

在中，，，

，

，，，，

，，.

設(shè)平面的法向量為，

由

得，令，；

設(shè)平面的法向量為，

由

得

令.

設(shè)二面角的大小為，

由圖可知，二面角為銳角，

則.

所以二面角的余弦值為