Question

（本小題滿分12分）
對于定義域為D的函數(shù)，若同時滿足下列條件：①在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②存在區(qū)間[]，使在[]上的值域為[]；那么把()叫閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間[]；
（2）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（3）若函數(shù)是閉函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）[-1，1]。（2）函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)。（3）。

試題分析：（1）根據(jù)y=-x³的單調(diào)性，假設(shè)區(qū)間為[a，b]滿足，求a、b的值．
（2）取一特殊值x₁=1，x₂=10，代入驗證不滿足條件即可證明不是閉函數(shù)．
（3）根據(jù)閉函數(shù)的定義，得到a,b,k的關(guān)系式，然后轉(zhuǎn)換為方程有兩個不等的實數(shù)根來得到參數(shù)的范圍。
解：
（1）由題意，在[]上遞減，則解得
所以，所求的區(qū)間為[-1，1]．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（2）
取則，
即不是上的減函數(shù)。
取，
即不是上的增函數(shù)，
所以，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，從而該函數(shù)不是閉函數(shù)。．．．．．．．．．．．．．4分
（3）若是閉函數(shù)，則存在區(qū)間[]，在區(qū)間[]上，函數(shù)的值域為[]，即，為方程的兩個實根，
即方程有兩個不等的實根。
當時，有，解得。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分
當時，有，無解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
綜上所述，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
點評：解決該試題的關(guān)鍵是理解閉函數(shù)的概念，并能結(jié)合所學知識，轉(zhuǎn)換為不等式以及對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式。