Question

某足球俱樂部2013年10月份安排4次體能測試，規(guī)定：按順序測試，一旦測試合格就不必參加以后的測試，否則4次測試都要參加。若運動員小李4次測試每次合格的概率組成一個公差為的等差數(shù)列，他第一次測試合格的概率不超過，且他直到第二次測試才合格的概率為。

（Ⅰ）求小李第一次參加測試就合格的概率P₁；

（2）求小李10月份參加測試的次數(shù)x的分布列和數(shù)學(xué)期望。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）小李第一次參加測試就合格的概率為；（Ⅱ）則x的分布列為

x	1	2	3	4
P

小李10月份參加測試的次數(shù)x的數(shù)學(xué)期望為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求小李第一次參加測試就合格的概率，由題意小李4次測試每次合格的概率組成一個公差為的等差數(shù)列，可設(shè)第一次參加測試就合格的概率為，則小李四次測試合格的概率依次為，而他直到第二次測試才合格的概率為，即，解得或，又因為他第一次測試合格的概率不超過，可舍去；（Ⅱ）求小李10月份參加測試的次數(shù)x的分布列和數(shù)學(xué)期望，小李10月份參加測試的次數(shù)為，則，小李四次考核每次合格的概率依次為，根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率，得到分布列和期望．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)小李四次測試合格的概率依次為：

a, a＋, a＋, a＋(a≤)，                                (2分)

則(1－a)(a＋)＝，即,

解得(舍)，                                  (5分)

所以小李第一次參加測試就合格的概率為；                  (6分)

（Ⅱ）因為P(x＝1)＝， P(x＝2)=，P(x＝3)＝，

P(x＝4)＝1－P(x＝1)－P(x＝2)－P(x＝3)＝，             (8分)

則x的分布列為

x	1	2	3	4
P

(10分)

所以，           

即小李10月份參加測試的次數(shù)x的數(shù)學(xué)期望為.            (12分)

考點：相互獨立事件的概率乘法公式．