Question

5．已知定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，f（x）有最小正周期2，且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=$\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$
1）求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的解析式；
2）判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）定義在R上的奇函數(shù)f（x），可得f（0）=0，及x∈（-1，0）時(shí)f（x）的解析式，x=-1和1時(shí)，同時(shí)結(jié)合奇偶性和單調(diào)性求解．
（2）證明單調(diào)性可用定解決．

解答 解：（1）當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，-x∈（0，1）
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=-f（-x）=$-\frac{{{2^{-x}}}}{{{4^{-x}}+1}}$=$-\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$
由f（0）=f（-0）=-f（0）得f（0）=0
又f（1）=f（-2+1）=f（-1）=-f（1）
得f（1）=f（-1）=0，∴$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{2^x}{{{4^x}+1}}}\\{-\frac{2^x}{{{4^x}+1}}}\\{\;}\\ 0\end{array}}\right.$$\begin{array}{l}{x∈（0，1）}\\{\;}\\{x∈（-1，0）}\\{\;}\\{x∈\{-1，0，1\}}\end{array}$
（2）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，$f（x）=\frac{2^x}{{{4^x}+1}}$
任取x₁，x₂∈（0，1）且x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）
=$\frac{{{2^{x_2}}}}{{{4^{x_2}}+1}}$-$\frac{{{2^{x_1}}}}{{{4^{x_1}}+1}}$=$\frac{{（{2^{x_2}}-{2^{x_1}}）（1-{2^{{x_1}+{x_2}}}）}}{{（{4^{x_1}}+1）（{4^{x_2}}+1）}}$
∵0＜x₁＜x₂＜1，∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查奇偶性，函數(shù)單調(diào)性的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性較強(qiáng)．