Question

在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—A′B′C′D′中，E、F分別是BC、A′D′的中點(diǎn)   

(1)求直線A′C與DE所成的角；

(2)求直線AD與平面B′EDF所成的角；

(3)求面B′EDF與面ABCD所成的角 

Answer 1

(1)解  如圖所示，在平面ABCD內(nèi)，過C作CP∥DE，交直線AD于P，則∠A′CP(或補(bǔ)角)為異面直線A′C與DE所成的角 

在△A′CP中，易得A′C=a，CP=DE=a,A′P=a

由余弦定理得cosA′CP=

故A′C與DE所成角為arccos 

 (2)解  ∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF內(nèi)的射影在∠EDF的平分線上（如圖）又可證明四邊形B′EDF為菱形（證明略），∴DB′為∠EDF的平分線，

故直線AD與平面B′EDF所成的角為∠ADB′，

在Rt△B′AD中，AD=a，AB′=a,B′D=a，

則cosADB′=，故AD與平面B′EDF所成的角是arccos 

(3)解  如圖，連結(jié)EF、B′D，交于O點(diǎn)，顯然O為B′D的中點(diǎn)，從而O為正方形ABCD—A′B′C′D的中心，作OH⊥平面ABCD，則H為正方形ABCD的中心，再作HM⊥DE，垂足為M，連結(jié)OM，則OM⊥DE，故∠OMH為二面角B′—DE′—A的平面角 

在Rt△DOE中，OE=a,OD=a,斜邊DE=a,

則由面積關(guān)系得OM=a

在Rt△OHM中，sinOMH=

故面B′EDF與面ABCD所成的角為arcsin 

方法二（向量法）

（1） 如圖建立坐標(biāo)系，則

故A′C與DE所成角為arccos 

（2）∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF內(nèi)的射影在∠EDF的平分線上  如下圖所示 又∵B′EDF為菱形，∴DB′為∠EDF的平分線，

故直線AD與平面B′EDF所成的角為∠ADB′，如圖建立坐標(biāo)系，則

，

故AD與平面B′EDF所成的角是arccos 

(3) 由(1)知，

所以面ABCD的法向量為   下面求面B′EDF的法向量 

設(shè)，由

取z=1，得  ∴.

故面B′EDF與面ABCD所成的角為 

解析:

求線面角關(guān)鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法  求二面角的大小也可應(yīng)用面積射影法 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查異面直線所成的角、線面角及二面角的一般求法，綜合性較強(qiáng)   用平移法求異面直線所成的角，利用三垂線定理求作二面角的平面角，是常用的方法.