Question

【題目】如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，過點(diǎn)的三條棱PA、AB、AD兩兩垂直且相等，E，F(xiàn)分別是AC，PB的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：EF//平面PCD；

（Ⅱ）求EF與平面PAC所成角的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析； （Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）連接BD，則E是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)得EF//PD。線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行。

（Ⅱ）首先找出EF與平面PAC所成的角，由題意可得EF與平面PAC所成的角的大小等于。根據(jù)條件得，所以。

（Ⅰ）證明：如圖，連接BD，則E是BD的中點(diǎn)

又F是PB的中點(diǎn)，∴ EF//PD，

∵ EF不在平面PCD內(nèi)，∴ EF//平面PCD。

（Ⅱ）連接PE，∵ ABCD是正方形，∴

又平面，∴。

∴平面，故是PD與平面PAC所成的角，

∵EF//PD，∴EF與平面PAC所成的角的大小等于

∵PA=AB=AD，，

∴≌，因此PD=BD

在中，，

∴EF與平面PAC所成角的大小是。