Question

18．若?m∈R，函數(shù)f（x）=mx²+x-m-a的圖象和x軸恒有公共點，則實數(shù)a的取值范圍為[-1，1]．

Answer 1

分析 當(dāng)m=0，f（x）為一次函數(shù)，圖象與x軸有交點；m＞0時，f（x）為開口向上的二次函數(shù)，令f_min（x）≤0解出實數(shù)a的取值范圍；當(dāng)m＜0時，f（x）為開口向下的二次函數(shù)，令f_max（x）≥0解出實數(shù)a的取值范圍，最后取交即可．

解答 解：（1）若m=0，f（x）=x-a，圖象與x軸交于（a，0），符合題意．
（2）若m＞0，f（x）=mx²+x-m-a圖象開口向上，
f_min（x）=$\frac{4m（-m-a）-1}{4m}$=-m-a-$\frac{1}{4m}$，
∵f（x）圖象和x軸恒有公共點，
∴-m-a-$\frac{1}{4m}$≤0，解得a≥-m-$\frac{1}{4m}$，
∵m+$\frac{1}{4m}$≥2$\sqrt{m•\frac{1}{4m}}$=1，
∴-m-$\frac{1}{4m}$≤-1，
∴a≥-1．
（3）若m＜0，f（x）=mx²+x-m-a圖象開口向下，
f_max（x）=$\frac{4m（-m-a）-1}{4m}$=-m-a-$\frac{1}{4m}$，
∵f（x）圖象和x軸恒有公共點，
∴-m-a-$\frac{1}{4m}$≥0，解得a≤-m-$\frac{1}{4m}$，
∵-m-$\frac{1}{4m}$≥2$\sqrt{-m•\frac{1}{-4m}}$=1，
∴a≤1．
∵?m∈R，函數(shù)f（x）=mx²+x-m-a的圖象和x軸恒有公共點，
∴m的取值范圍是R∩[-1，+∞）∩（-∞，1]=[-1，1]．
故答案為[-1，1]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的最值與二次函數(shù)圖象和x軸交點個數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．