Question

已知點(diǎn)（m，n）在曲線

x= 6 cosα y= 6 sinα

（α為參數(shù)）上，點(diǎn)（x，y）在曲線

x= 24 cosβ y= 24 sinβ

（β為參數(shù)）上，則mx+ny的最大值為（　�。�

• A、12
• B、15
• C、24
• D、30

Answer 1

考點(diǎn)：圓的參數(shù)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：第一步：將兩參數(shù)方程化為普通方程，得到m與n，及x與y的關(guān)系式；
第二步：將以上得到的兩個(gè)式子相乘，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮，再探求mx+ny的最大值．

解答： 解：方程

x= 6 cosα y= 6 sinα

可化為x²+y²=6，由題意得m²+n²=6，
方程

x= 24 cosβ y= 24 sinβ

可化為x²+y²=24，
從而（x²+y²）（m²+n²）=（mx）²+（ny）²+（my）²+（nx）²
≥（mx）²+（ny）²+2my•nx=（mx+ny）²，
即6×24≥（mx+ny）²，得mx+ny≤|mx+ny|≤12，
所以mx+ny≤12，
當(dāng)且僅當(dāng)my=nx，mx+ny≥0時(shí)，mx+ny有最大值12．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：1．本題考查了參數(shù)方程化普通方程，及不等式性質(zhì)的運(yùn)用，屬于參數(shù)方程與不等式的交匯題．
2．本題容易做錯(cuò)，如mx+ny≤

m2+x2

2

+

n2+y2

2

=

(x2+y2)+(m2+n2)

2

=

24+6

2

=15，從而誤選B．錯(cuò)誤原因在于上式等號(hào)不能成立，因?yàn)榈忍?hào)成立的條件是：m=x，n=y，聯(lián)立m²+n²=6及x²+y²=24知，這4個(gè)式子不可能同時(shí)成立．