Question

利用展開式(a+b)n=

C

0 n

an+

C

1 n

an-1b+

C

2 n

an-2b2+…+

C

r n

an-rbr+…+

C

n n

bn（n∈N^*）回答下列問題：
（Ⅰ）求（1+2x）¹⁰的展開式中x⁴的系數(shù)；
（Ⅱ）通過給a，b以適當?shù)闹�，將下式化簡�?span id="4xkir4y" class="MathJye">

C

0 n

-

C 1 n

2

+

C 2 n

22

-…+(-1)n

C n n

2n

；
（Ⅲ）把（Ⅱ）中化簡后的結果作為a_n，求

8

n=1

an的值．

Answer 1

分析：（I）利用二項展開式的通項即可求解
（II）根據(jù)展開式的特點，考慮令a=1，b=-

1

2

即可求解
（III）結合等比數(shù)列的求和公式即可求解

解答：（本小題滿分8分）
解：（Ⅰ）因為(1+2x)10=

C

0 10

110×(2x)0+

C

1 10

19×(2x)1+

C

2 10

18×(2x)2+…+

C

10 10

10×(2x)10
所以

C

4 10

16×(2x)4=3360x4，即（1+2x）¹⁰的展開式中x⁴的系數(shù)為3360．…（3分）
（Ⅱ）令a=1，b=-

1

2

，得

C

0 n

-

C 1 n

2

+

C 2 n

22

-…+(-1)n

C n n

2n

=(1-

1

2

)n=

1

2n

．…（6分）
（Ⅲ）

8

n=1

1

2n

=

1

2

+

1

22

+…+

1

28

=

255

256

．…（8分）

點評：本題主要考查了二項展開式的通項在求指定項的應用及利用賦值法求解展開式的系數(shù)和，注意方法的靈活應用．