Question

已知曲線所圍成的封閉圖形的面積為，曲線的內

切圓半徑為．記為以曲線與坐標軸的交點為頂點的橢圓。

（I）求橢圓的標準方程，

（Ⅱ）設AB是過橢圓中心的任意弦，是線段AB的垂直平分線。M是上異于橢圓

中心的點。

（1）若(為坐標原點)，當點A在橢圓上運動時，求點M的軌跡方

程；

（2）若M是與橢圓的交點，求△AMB的面積的最小值。

Answer 1

已知曲線C₂=所圍成的封閉圖形的面積為4,曲線C₃的內切圓半徑為，記C₂為以曲線C₂與坐標軸的交點頂點的橢圓.

(I)求橢圓C₂的標準方程；

(II)設AB是過橢圓C，中心的任意弦，l是線段AB的垂直平分線，M是l上異于橢圓中心的點.

（1）                     若|MO|=|OA|(O為坐標原點)，當點A在橢圓C₂上運動時，求點M的軌跡方程；

（2）若M是l與橢圓C₂的交點，求△AMB的面積的最小值。

解：（I）由題意得

由a>b>0，

解得   a²=5, b²=4.

因此所求橢圓的標準方程為     =1.

（II）（1）假設AB所在的直線斜率存在且不為零，設AB所在直線方程為y=kx(k≠0),

A(x_A,y_A).

解方程組  得

所以    |OA|²=x²_A+ y²_A=

設M(x,y)，由題意知|MO|=λ²|OA|²,即,

因為l是AB的垂直平分線，

所以  直線l的方程為y=-,

即k=-,

因此  

又x²+y²=0,

故 

又    當k=0或不存時，上式仍然成立.

綜上所述，M的軌跡方程為（λ0）,

（2）                     當k存在且k0時，由（1）得

,

由解得

所以|OA|²=,

解法一：由于 

=

=

=

=（）²，

當且僅當4+5k²=5+4k²時等號成立，即k=1時等號成立，此時△AMB面積的最小值是S_△AMB=.

當

當k不存在時，

綜上所述，的面積的最小值為

解法二：因為

又   

當且僅當時等號成立，即時等號成立，此時面積的最小值是

當k=0，

當k不存在時，

綜上所述，的面積的最小值為