Question

已知數(shù)列{a_n}及其前n項(xiàng)和S_n滿足：a₁=3，S_n=2S_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N*）．  
（1）證明：設(shè)b_n=

Sn

2n

，{b_n}是等差數(shù)列； 
（2）求S_n及a_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，

Sn

2n

-

Sn-1

2n-1

=1，即可證明
（2）由（1）可求s_n，然后利用n≥2時(shí)，a_n=s_n-s_n-1可求a_n

解答：（本題滿分14分）
解：（1）∵Sn-2Sn-1=2n
∴

Sn

2n

-

Sn-1

2n-1

=1（n≥2）…（4分）
設(shè)bn=

Sn

2n

則{b_n}是公差為1的等差數(shù)列        …（6分）
（2）又∵b1=

S1

2

=

a1

2

=

3

2

，
∴

Sn

2n

=n+

1

2

，
∴Sn=(n+

1

2

)2n…（9分）
當(dāng)n≥2時(shí)，an=sn-sn-1=(2n+3)2n-2…（12分）
∴an=

3 (2n+3)2n-2

(n=1) (n≥2)

Sn=(n+

1

2

)2n…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求通項(xiàng)公式及數(shù)列的遞推公式a_n=s_n-s_n-1的應(yīng)用