Question

已知命題α：x₁和x₂是方程x2-mx-

9

4

=0的兩個實根，不等式a²-a-3≤|x₁-x₂|對任意實數(shù)m∈[-1，1]恒成立；命題β：不等式ax²+2x-1＞0有解．
（Ⅰ）若命題α是真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若命題α是真命題且命題β是假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由x₁，x₂是方程x2-mx-

9

4

=0的兩個實根，知

x1+x2=m x1•x2=- 9 4

，故|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+9

，由此能求出命題α為真命題時，a的取值范圍．
（Ⅱ）命題β：不等式ax²+2x-1＞0有解時，a＞-1．又命題β是假命題，故a≤-1．由此能求出命題α是真命題且命題β是假命題時，a的取值范圍．

解答：（本小題12分）
解：（Ⅰ）∵x₁，x₂是方程x2-mx-

9

4

=0的兩個實根，
∴

x1+x2=m x1•x2=- 9 4

，
∴|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+9

，
∴當m∈[-1，1]時，|x₁-x₂|_min=3，
由不等式a²-a-3≤|x₁-x₂|對任意實數(shù)m∈[-1，1]恒成立，
可得a²-a-3≤3，∴-2≤a≤3，
∴命題α為真命題時，a的取值范圍為-2≤a≤3；…（5分）
（Ⅱ）命題β：不等式ax²+2x-1＞0有解，
①當a＞0時，顯然有解；
②當a=0時，2x-1＞0有解；
③當a＜0時，∵ax²+2x-1＞0有解，
∴△=4+4a＞0，∴-1＜a＜0，
從而命題β：不等式ax²+2x-1＞0有解時，a＞-1．
又命題β是假命題，∴a≤-1．
故命題α是真命題且命題β是假命題時，
a的取值范圍為-2≤a≤-1．…（12分）

點評：本題考查命題的真假判斷的應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．