Question

已知：函數f（x）=x³-6x²+3x+t，t∈R．
（1）求函數f（x）兩個極值點所對應的圖象上兩點之間的距離；
（2）設函數g（x）=e^xf（x）有三個不同的極值點，求t的取值范圍．（注：a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²））

Answer 1

考點：函數在某點取得極值的條件,利用導數研究函數的極值

專題：計算題,導數的概念及應用

分析：（1）令f′（x）=3x²-12x+3=0，設其兩根為（x₁，x₂）（x₁＜x₂），利用韋達定理可得x₁+x₂=4，x₁x₂=1，進而可求x₂-x₁，y₁-y₂，故可求函數f（x）兩個極值點所對應的圖象上兩點之間的距離；
（2）求導函數，f′（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x，函數g（x）=e^xf（x）有三個不同的極值點，所以x³-3x²-9x+t+3=0有三個不等根，構造函數h（x）=x³-3x²-9x+t+3，可知h（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上遞增，在（-1，3）上遞減，從而h（-1）＞0，h（3）＜0，故可求t的取值范圍．

解答： 解：（1）令f′（x）=3x²-12x+3=0，設其兩根為（x₁，x₂）（x₁＜x₂）
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=1
∴x₂-x₁=2

3

，
設兩個極值點所對應的圖象上兩點的坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
則y₁-y₂=（x₁³-6x₁²+3x₁+t）-（x₁³-6x₁²+3x₁+t）=12

3

，
∴函數f（x）兩個極值點所對應的圖象上兩點之間的距離為

12+(12 3 )2

=2

111

（2）解：f′（x）=（3x²-12x+3）e^x+（x³-6x²+3x+t）e^x=（x³-3x²-9x+t+3）e^x
∵g（x）有三個不同的極值點
∴x³-3x²-9x+t+3=0有三個不等根；
令h（x）=x³-3x²-9x+t+3，則h′（x）=3x²-6x-9=3（x+1）（x-3）
∴h（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上遞增，在（-1，3）上遞減
∵h（x）有三個零點
∴h（-1）＞0，h（3）＜0
∴t+8＞0，t-24＜0
∴-8＜t＜24．

點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查利用導數求函數的單調性，考查函數的極值，解題的關鍵是將函數g（x）=e^xf（x）有三個不同的極值點，轉化為x³-3x²-9x+t+3=0有三個不等根．