Question

17．不共線向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|$，且$\overrightarrow a⊥（{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}）$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 設$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為θ，利用兩個向量垂直的性質，兩個向量數量積的定義，求得cosθ的值，可得θ的值．

解答 解：設$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為θ，∵不共線向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|$，且$\overrightarrow a⊥（{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}）$，則θ∈（0，π），
∴$\overrightarrow{a}•$（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cosθ=${\overrightarrow{a}}^{2}$-2${\overrightarrow{a}}^{2}$cosθ=0，∴cosθ=$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$，
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點評 本題主要考查兩個向量垂直的性質，兩個向量數量積的定義，屬于基礎題．