Question

（14分）設橢圓的對稱中心為坐標原點,其中一個頂點為,右焦點與點

的距離為．

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在經過點的直線,使直線與橢圓相交于不同的兩點滿足？若存在,求出直線的方程；若不存在,請說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

解:（1）依題意,設橢圓方程為,則其右焦點坐標為

,由,得,即

故．又∵,∴,從而可得橢圓方程為．-----------6分

（2）由題意可設直線的方程為,由知點在線段的垂直平分線上,

由消去得,即可得方程（*）

當方程（*）的即時方程（*）有兩個不相等的實數根．

設,,線段的中點,則是方程（*）的兩個不等的實根,故有．從而有  ,．

于是,可得線段的中點的坐標為

又由于,因此直線的斜率為,

由,得，即，解得，∴，

∴綜上可知存在直線：滿足題意．--------------14分

 

【解析】略