Question

10．已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R．
（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧長(zhǎng)及扇形的面積；
（2）若扇形的周長(zhǎng)是12cm，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？并且最大面積是多少？

Answer 1

分析 （1）直接利用扇形的弧長(zhǎng)、面積公式計(jì)算．
（2）設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，利用周長(zhǎng)關(guān)系，表示出扇形的面積，利用二次函數(shù)求出面積的最大值，以及圓心角的大小．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：α=60°=$\frac{π}{3}$，l=αR=$\frac{10π}{3}$cm，
S_扇形=$\frac{1}{2}lR$=$\frac{1}{2}×\frac{10π}{3}×10$=$\frac{50}{3}$（cm²）．
（2）設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，則
l+2r=12，即l=12-2r（0＜r＜4）．
扇形的面積S=$\frac{1}{2}$lr，將上式代入，
得S=$\frac{1}{2}$（12-2r）r=-r²+6r=-（r-3）²+9，
∴當(dāng)且僅當(dāng)r=3時(shí)，S有最大值9，
此時(shí)l=6，α=2rad．
∴當(dāng)α=2rad時(shí)，扇形的面積取最大值，最大值為9cm²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了扇形面積的計(jì)算，考查扇形的周長(zhǎng)，半徑圓心角，面積之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力．