Question

已知點An(xn，yn)(n∈N+，xn≠0)在拋物線y＝x2上，過An點的拋物線的切線ln交x軸于點Bn＋1(xn＋1，0)．設(shè)x1＝1， (1) 求切線l1的方程 (2) 求數(shù)列{xn}的通項公式 (3) 設(shè)bn＝nxn，Sn＝，證明：當(dāng)n＞3時，Sn＞3．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：∵點A1(x1，y1)在拋物線y=x2上，且x1=1，∴y1=1，即A點坐標(biāo)是(1，1)． 　　又∵l1的斜率為=2， 　　∴l(xiāng)1的方程為2x－y－1=0． 　　分析：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線ln的斜率關(guān)于切點坐標(biāo)的表達式
(2)	∵An在拋物線上，∴yn=，∴點An(xn，)． 　　∵ln的斜率為｜=2xn，又直線ln過An、Bn+1兩點， 　　∴=2xn 　　∴，∴{xn}是以x1=1為首項，為公比的等比數(shù)列．∴xn= 　　分析：由斜率公式得數(shù)列{xn}的遞推關(guān)系．
(3)	∵bn=n·，∴Sn=1＋2·＋3·＋…＋n·　　　　�、� 　　Sn=＋2·＋3·＋…＋(n－1)·＋n·　�、� 　　①－②，得Sn=1＋＋＋＋…＋－n·， 　　∴Sn＝4 　　∵當(dāng)＞3時，，∴數(shù)列是遞減數(shù)列． 　　又數(shù)列也是遞減數(shù)列∴Sn是一個遞增數(shù)列，故當(dāng)n＞3時，Sn≥S4= 　　點評：當(dāng)點的坐標(biāo)所成的數(shù)列的通項與曲線的切線相關(guān)時，可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出相關(guān)點的坐標(biāo)關(guān)于切點坐標(biāo)的關(guān)系式，設(shè)法得到數(shù)列的通項．