Question

16．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且此函數(shù)圖象過點(diǎn)（1，2）．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并證明；
（Ⅲ）討論函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函數(shù)f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且此函數(shù)圖象過點(diǎn)（1，2），代入計(jì)算求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）利用函數(shù)f（x）的奇偶性的定義，判斷與證明；
（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)f（x）在（0，1）上的單調(diào)性．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=x+$\frac{m}{x}$，且此函數(shù)圖象過點(diǎn)（1，2），
∴2=1+m，∴m=1；
（Ⅱ）f（x）=x+$\frac{1}{x}$，∴f（-x）=-x+$\frac{1}{-x}$=-f（x），∴函數(shù)是奇函數(shù)；
 （Ⅲ）∵x∈（0，1），∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$＜0，∴函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．