Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，點P是拋物線上的一點，且其縱坐標(biāo)為4，|PF|=4．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線上異于點P的兩點，∠APB的角平分線與x軸垂直，且線段AB的中垂線與x軸交于點M，求

|MF|

|AB|

的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出P點坐標(biāo)（x₀，4），由拋物線的定義及點在拋物線上列式求得x₀和p的值，則拋物線方程可求；
（2）由（1）求得P點坐標(biāo)，再由∠APB的角平分線與x軸垂直，可知PA，PB的斜率互為相反數(shù)，設(shè)出兩直線方程，分別和拋物線方程聯(lián)立后得到A，B的縱坐標(biāo)，代入A，B的斜率公式求得A，B的斜率，然后寫出AB所在直線方程，和拋物線方程聯(lián)立后由弦長公式求得|AB|，借助于AB的中垂線方程求得|MF|，代入

|MF|

|AB|

后整理，然后利用基本不等式求最值．

解答： 解：（1）設(shè)P（x₀，4），
∵|PF|=4，由拋物線定義得：x0+

p

2

=4 ①
又4²=2px₀，
∴x0=

8

p

．代入①得，

8

p

+

p

2

=4，解得：p=4．
∴拋物線方程為y²=8x；
（2）由（1）知，P（2，4），
∵∠APB的角平分線與x軸垂直，
∴PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，即PA，PB的斜率互為相反數(shù)，
設(shè)PA：y-4=k（x-2），k≠0，
聯(lián)立

y-4=k(x-2) y2=8x

，得y2-

8

k

y-16+

32

k

=0，
則y1+4=

8

k

，即y1=

8

k

-4．
PB：y-4=-k（x-2），
聯(lián)立

y-4=-k(x-2) y2=8x

，得y2+

8

k

-16-

32

k

=0，
則y2+4=-

8

k

，即y2=-

8

k

-4．
∴kAB=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

y22 8 - y12 8

=

8

y2+y1

=-1．
設(shè)AB：y=-x+b，代入y²=8x，得y²+8y-8b=0．
由△=64+32b＞0，得b＞-2．
又y₁+y₂=-8，y₁y₂=-8b，
∴|AB|=

2

|y1-y2|=

2

(-8)2+4×8b

=8

b+2

．
又AB的中垂線方程為y=x-b-8，
則點M的坐標(biāo)為（b+8，0），
∴|MF|=6+b．
則

|MF|

|AB|

=

|6+b|

8 b+2

=

1

8

b2+12b+36 b+2

=

1

8

(b+2)+ 16 b+2 +8

≥

1

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)b=2時取等號．
∴

|MF|

|AB|

的最小值為

1

2

．

點評：本題考查了拋物線的方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了弦長公式的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，考查了學(xué)生的計算能力，是壓軸題．