Question

7．設(shè)動點P在曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1（y≥0）上，定點A（4，0），在直線AP的上方作正三角形PMA，則△PMA的面積的最大值為$9\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 通過設(shè)P（x，y）、計算可知|AP|²=$\frac{3}{4}$x²-8x+17，進(jìn)而可知當(dāng)x=-2時|AP|²取最大值36，進(jìn)而計算可得結(jié)論．

解答 解：依題意，當(dāng)△PMA的面積取最大值，即|AP|取最大值，
設(shè)P（x，y），則$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
又∵A（4，0），
∴|AP|²=（x-4）²+（y-0）²
=x²-8x+16+1-$\frac{{x}^{2}}{4}$
=$\frac{3}{4}$x²-8x+17，
∵-2≤x≤2，
∴當(dāng)x=-2時，|AP|²取最大值$\frac{3}{4}$×4-8×（-2）+17=36，
∴|AP|=6，
∴△PMA的面積的最大值為$\frac{1}{2}$|AP|²sin60°=9$\sqrt{3}$，
故答案為：$9\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．