Question

設已知點．
（Ⅰ）若，求角α的值；
（Ⅱ）若，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）解法一，依題意，由=，可求得cosα=sinα，結合題意可求得角α的值；
解法二，由=，可知點C在直線y=x上，而α∈（，），可求得角α的值；
（Ⅱ）由•=-1，可求得sinα+cosα=，將所求關系式切化弦后得=2sinαcosα，利用（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα即可求得答案．
解答：解：（Ⅰ）解法一：∵A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），
∴=（cosα-3，sinα），=（cosα，sinα-3）．  …（2分）
由=，得=．
即cosα=sinα．                          …（4分）
∵＜α＜，
∴α=．…（6分）
解法二：∵=，
∴點C在直線y=x上．…（3分）
則sinα=cosα．  …（4分）
∵α∈（，），
∴α=．…（6分）
（Ⅱ）=
==2sinαcosα．…（8分）
由•=-1，得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1．…（10分）
即 sinα+cosα=．
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=-． …（12分）
∴=．…（13分）
點評：本題考查三角函數的恒等變換及化簡求值，考查平面向量數量積的坐標運算，考查綜合分析與運算的能力，屬于中檔題．