Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且Sn=2an-2(n∈N*)，數(shù)列{b_n}中，b₁=1，bn+1=

bn

2bn+1

．（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)a_n和b_n
（2）設(shè)cn=

an

bn

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．
（3）設(shè)hn=

an

3n•bn

，若對(duì)于一切n∈N^*，有λ＞h_n恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由Sn=2an-2(n∈N*)，可得當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2，兩式相減可得a_n=2a_n-1，從而可知數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故可得a_n=2ⁿ；根據(jù)bn+1=

bn

2bn+1

，兩邊取倒數(shù)，可得數(shù)列{

1

bn

}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，從而可求{b_n}的通項(xiàng)
（2）cn=

an

bn

= (2n-1)2n，所以數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=c₁+c₂+…+c_n=1×2+3×2²+…+（2n-1）×2ⁿ，利用錯(cuò)位相減法可求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和
（3）hn=

an

3n•bn

=(2n-1)(

2

3

)n，可判斷n=1，2時(shí)，h_n+1＞h_n；n≥3時(shí)，h_n+1＜h_n，故n=3時(shí)，h_n取得最大值

40

27

，從而可求λ的取值范圍．

解答：解：（1）由Sn=2an-2(n∈N*)，可得當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-2
兩式相減可得：a_n=2a_n-2a_n-1
∴a_n=2a_n-1
∴

an

an-1

=2（n≥2）
∵n=1時(shí)，S₁=2a₁-2，∴a₁=2
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
∴a_n=2ⁿ
∵bn+1=

bn

2bn+1

∴

1

bn+1

-

1

bn

=2
∵b₁=1，∴

1

b1

=1
∴數(shù)列{

1

bn

}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列
∴

1

bn

=1+2(n-1)=2n-1
∴bn=

1

2n-1

（2）cn=

an

bn

= (2n-1)2n
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=c₁+c₂+…+c_n=1×2+3×2²+…+（2n-1）×2ⁿ①
∴2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹②
①-②可得：-T_n=1×2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=-6+2ⁿ⁺²-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
∴T_n=6-2ⁿ⁺²+（2n-1）×2ⁿ⁺¹；
（3）hn=

an

3n•bn

=(2n-1)(

2

3

)n
∴hn+1-hn= (2n+1)(

2

3

)n+1-(2n-1)(

2

3

)n=(

2

3

)n(-

2

3

n+

5

3

)
∴n=1，2時(shí)，h_n+1＞h_n；n≥3時(shí)，h_n+1＜h_n
∴n=3時(shí)，h_n取得最大值

40

27

∵對(duì)于一切n∈N^*，有λ＞h_n恒成立，
∴λ＞

40

27

，
∴λ的取值范圍為(

40

27

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查等差數(shù)列與等比數(shù)列，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是研究數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，有針對(duì)性的選擇方法．