Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅱ）設，為函數(shù)的兩個極值點，求證．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)的單調遞增區(qū)間，，單調遞減區(qū)間；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）先求得函數(shù)的導數(shù)，然后結合導數(shù)與單調性的關系，即可求得函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，構造新函數(shù)，，轉化為求解的范圍問題，結合導數(shù)及函數(shù)性質可求．

（Ⅰ）由題意，函數(shù)的定義域，

且，

當或時，，函數(shù)單調遞增；

當時，，函數(shù)單調遞減，

故函數(shù)的單調遞增區(qū)間，，單調遞減區(qū)間；

（Ⅱ）不妨設，則由（1）可知，，

所以

，

令（其中），則，

可得，即在上單調遞減，

且，，

故存在使得，即，

當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

故當時，取得最大值

，

因為，結合二次函數(shù)的性質可知，當時，，

故，

所以，即．