Question

（12分）已知棱長為1的正方體AC₁，E、F分別是B₁C₁、C₁D的中點(diǎn)．

（1）求證：E、F、D、B共面；

（2）求點(diǎn)A₁到平面的BDEF的距離；

（3）求直線A₁D與平面BDEF所成的角．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）1；（3）.

【解析】

試題分析：解：（1）略．

（2）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz,

則知B（1，1，0），

設(shè)

得則

令．

設(shè)點(diǎn)A₁在平面BDFE上的射影為H，連結(jié)A₁D，知A₁D是平面BDFE的斜線段．

又

即點(diǎn)A₁到平面BDFE的距離為1．

（3）由（2）知，A₁H=1，又A₁D=，則△A₁HD為等腰直角三角形，

是在平面上的射影

所以是直線與平面所成的角，所以。

考點(diǎn)：本題主要考查空間向量的應(yīng)用,綜合考查向量的基礎(chǔ)知識。

點(diǎn)評：以向量為工具，利用空間向量坐標(biāo)及數(shù)量積，求點(diǎn)到平面的距離、求直線與平面所成的角是立體幾何中的常見問題和處理手段．