Question

2．設(shè)方程x⁴+ax-4=0的各實(shí)根為x₁，x₂，…x_k（k≤4）若點(diǎn)（x_i，$\frac{4}{{x}_{i}}$）（i=1，2，…k）均在直線y=x的同側(cè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （4，+∞）
• B． （-∞，-6）∪（6，+∞）
• C． （6，+∞）
• D． （-∞，-4）∪（4，+∞）

Answer 1

分析 方程的根顯然x≠0，從而化方程為x³+a=$\frac{4}{x}$，故原方程的實(shí)根是曲線y=x³+a與曲線y=$\frac{4}{x}$的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作圖輔助，從而結(jié)合圖象可得$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（-2）^{3}+a＞-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{{2}^{3}+a＜2}\end{array}\right.$；從而解得．

解答 解：方程的根顯然x≠0，
原方程可化為x³+a=$\frac{4}{x}$，
原方程的實(shí)根是曲線y=x³+a與曲線y=$\frac{4}{x}$的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
而曲線y=x³+a是由曲線y=x³向上或向下平移|a|個(gè)單位而得到的，
若交點(diǎn)（x_i，$\frac{4}{{x}_{i}}$）（i=1，2，…，k）均在直線y=x的同側(cè)，
因直線y=x與y=$\frac{4}{x}$交點(diǎn)為：（-2，-2），（2，2）；
所以結(jié)合圖象可得
$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{（-2）^{3}+a＞-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{{2}^{3}+a＜2}\end{array}\right.$；
解得，a＞6或a＜-6．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．