Question

5．7個人站成一排照相（假定7人的身高均不同）；①某1人必須站在中間；②某2人必須排在一起；③其中某4人與其余3人必相間而排；④若7人全部按高矮順序排列．問各有多少種排法？

Answer 1

分析 ①、分2步進行分析：1、某1人必須站在中間，分析可得這個人只有1種站法，2、將剩余的6個人將全排列，安排在其他6個位置，由分步計數原理計算可得答案；
②、分2步進行分析：1、由于某2人必須排在一起，用捆綁法將將這2人看成一個整體，考慮2人之間的順序，2、將這個整體與其他5人進行全排列，由分步計數原理計算可得答案；
③、根據題意，要求其中某4人與其余3人必相間而排，依次分析“某4人”與“其余3人”的順序情況，再分析“某4人與其余3人必相間而排”的情況，由分步計數原理計算可得答案；
④、若7人全部按高矮順序排列，7個人之間的順序是一定的，可以分從左到右從高到低或從左到右從低到高2種情況，即可得答案．

解答 解：①、根據題意，某1人必須站在中間，則這個人只有1種站法，
將剩余的6個人將全排列，安排在其他6個位置，有A₆⁶=720種情況，
則某1人必須站在中間的排法有1×720=720種；
②、根據題意，某2人必須排在一起，將這2人看成一個整體，考慮2人之間的順序，有A₂²=2種情況，
將這個整體與其他5人進行全排列，有A₆⁶=720種情況，
則某2人必須排在一起的排法有2×720=1440種；
③、根據題意，要求其中某4人與其余3人必相間而排，
考慮某4人之間的順序，有A₄⁴=24種情況，其余3人之間的順序有A₃³=6種情況，
分析某4人與其余3人必相間而排，有1種情況，
則某4人與其余3人必相間而排的排法有24×6=144種；
④、若7人全部按高矮順序排列，7個人之間的順序是一定的，
可以分從左到右從高到低或從左到右從低到高2種情況，
則7人全部按高矮順序排列有2種排法．

點評 本題考查排列、組合的運用，解題的關鍵正確理解題意的要求，選擇相應的方法．